给出下列命题:
①二次函数y=x2
②对任意实数x，均有x2
+2>x;
③不存在实数x，使x2+2x+3<0.其中真命题的序号为_____.
[解析]:
命题①分析：
二次函数y=αx2
+bx+c的图象与x轴的交点情况由判别式∆=b2
-4ac决定：
如果Δ>0,有两个不同的交点；
如果Δ=0,有一个交点（相切）；
如果Δ<0,无交点。
对于y=x2-𝛂x-1：
a=1,b=−α,c=−1
判别式Δ=(-α)2
−4⋅1⋅(−1)=α2
+4
因为α2≥0,所以α2+4≥4>0，恒成立.因此,无论α取何值,判别式总是大于零,图象与x轴恒有交点。
结论:命题①为真。
命题②:分析
我们需要判断不等式x2+2>x是否对任意实数x成立.可以将其整理为标准形式：x2-x+2>0
计算判别式：Δ=(-1)2
−4⋅1⋅2=1−8=−7
因为Δ<0且二次项系数a=1>0,所以二次函数y=x2−x+2恒大于零.因此,不等式x2+2>x对任意实数x成立。
结论:命题②为真。
命题③分析：
我们需要判断不等式x2+2x+3<0是否有实数解.计算判别式：
Δ=22
−4⋅1⋅3=4−12=−8.因为Δ<0且二次项系数a=1>0,所以二次函数y=x2+2x+3恒大于零.因此,不存在实数x使得x2+2x+3<0.
结论:命题③为真。
[答案]: ①、②、③。
